(9-Б)
"Исследование колебаний математического маятника в неоднородном силовом поле"

Научный руководитель: Новиков А.В.

В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими (или почти периодическими) процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными.

Рис. 1-а. Математический маятник

Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине (пружинный маятник) или на нерастяжимом подвесе (математический маятник) (рис. 1-а и 1-б).

Рис. 1-б. Пружинный маятник

Выведем маятник из положения равновесия и отпустим. В случае пружинного маятника тело будет совершать колебания в одном направлении и для работы такой системы не требуется внешних сил. Движение будет совершаться только за счет взаимодействия пружины и груза.

В случае математического маятника тело будет двигаться в плоскости. Колебания в этой системе происходят вследствие действия на тело силы натяжения нити и силы тяжести. Эти силы сообщают маятнику ускорение (рис.2).
Под действием сил маятник начинает двигаться по дуге окружности вниз с нарастающей по модулю скоростью. Вследствие своей инертности маятник движется дальше, поднимаясь вверх, причем уже равнодействующая сил действующих на маятник направлена против скорости. Поэтому модуль скорости уменьшается. И в момент остановки равнодействующая максимальна и направлена в сторону положения равновесия.
Равнодействующая сила, заставляющая тело совершать колебания, направлена всегда в сторону положения равновесия (x = 0), пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению. В таком случае координата, скорость и ускорение тела меняются с течением времени по закону синуса или косинуса и называются гармоническими.

Рис. 2. Силы, действующие на математический маятник

Движение математического маятника всегда рассматривается в случае, когда сила тяжести, действующая на тело, остается постоянной. То есть, движение происходит в однородном силовом поле.
Однако интересно рассмотреть случай, когда сила тяжести (или другая сила, вызывающая движение маятника) изменяется в зависимости от его положения. То есть, движение происходит в неоднородном силовом поле. Очевидно, что колебания не будут уже гармоническими. Но какими? Ответ на этот вопрос и являлся целью этой работы, в которой исследуется движения маятника в неоднородном поле.
Для исследования движения был проведен реальный эксперимент и создана компьютерная модель маятника.

Рис. 3. Маятник и магнит, создающий неоднородное поле

Реальный эксперимент.

Исследования производились с железным грузом массой 150 г на подвесе длиной 30 см, 25 см и 15см. Он был закреплен на штативе. Для создания неоднородного поля под маятником находился магнит (рис. 3). Положение тела фиксировалось видеокамерой и вводилось в компьютер. Полученная таким образом серия фотографий использовалась далее для измерения координат тела, которые заносились в электронную таблицу Excel. Далее по координатам рассчитывались скорость и ускорение тела, строились траектория и фазовая плоскость.

Компьютерная модель.

Для моделирования движения маятника в неоднородном поле необходимо решать уравнения, выходящие за пределы обычного школьного курса физики. Поэтому удобнее всего использовать метод Ньютона.
Его принцип состоит в том, что бы разбить все движение на бесконечные интервалы времени, изменением величин, в течение которых можно пренебречь. И считать, что величины изменились только в конце интервала.

Одна из осей систем координат была направлена по равнодействующей действующих сил (рис. 4). Масса тела всегда постоянна. Тогда в отстутствие магнита проекция ускорения по х будет равна g*sin(al), а по y-оси -g*cos(al). Угол al - угол на который отклонился маятник от положения равновесия. Величина s, на которую переместился маятник на шаге, будет равна проекции ускорения на промежуток времени одного шага (g*sin(al)*t). Эта величина нужна для определения изменения угла. Он равен отношению расстояния, на которое переместился маятник к длине подвеса

dl = s/l,

Новый угол рассчитывается, как сумма углов предыдущего и dl. Далее следует переход в экранную систему координат. Для получения x-координаты длину подвеса умножить на sin(al). При расчете у-координаты нужно учитывать, что маятник находится на некотором расстоянии от поверхности и координата будет, равна расстоянию до земли, плюс длина подвеса умноженная на cos(al). Магнит действует на маятник с переменой силой, зависящей от расстояния. Маятник находится под магнитом в точке равновесия. Расстояние в этом случае постоянно. Тогда сила, с которой магнит будет действовать в любой точке на маятник, будет равна

f = f0*r0*r0/(r*r)

Рис. 4. Силы, действующие на математический маятник в неоднородном поле

где f0 - сила, с которой магнит действует на маятник в состоянии равновесия. r0- расстояние от положения равновесия матника до центра магнита, а r - текущее расстояние от магнита до маятника:

r = sqrt((x-xm)*(x-xm)+ (y-ym)*(y-ym)).

Как видно из формулы эта сила обратно пропорциональна квадрату расстояния. А когда маятник проходит точку равновесия, она равна f0.
Проекция на ось х равна f*cos(bet)*sgn(-al), где bet -угол между осью x и направлением на центр магнита.
Проекция на ось y будет равна f*sin(bet).

Рис. 5 Однородное и неоднородное силовые поля

Для того, чтобы можно было анализировать неоднородность силового поля в программу введен блок построения линий, на которых маятник имеет одну и ту же потенциальную энергию - эквипотенциалей (рис. 5).

Обсуждение полученных результатов

Что же изменяется с появлением еще одной силы, меняющейся с расстоянием. Сравним фазовые диаграммы реального эксперимента (рис. 6).

Рис. 6 Реальные фазовые диаграммы маятника в однородном (слева) и неоднородном (справа) полях

На диаграмме для однородного поля видно упорядоченное движение маятника с небольшим затуханием, вызванным сопротивлением воздуха.
В случае неоднородного поля движение перестает быть упорядоченным. Маятник начинает "прыгать", двигаться рывками.
Подобные изменения видны и на траекториях движения маятника (рис. 7).

Рис.7. Реальные траектории маятника в однородном (слева) и неоднородном (справа) полях

Рис.8. Компьютерные траектории маятника в однородном и неоднородном полях

Чем это вызвано? Посмотрим результаты моделирования на компьютере (рис. 8 и 9).
Никаких различий в траектории движения маятника в однородном и неоднородном полях при моделировании на компьютере не замечено.
Фазовые диаграммы хотя и различаются, но также не показывают хаоса в движении модели маятника.

Рис.9. Компьютерные фазовые диаграммы в однородном и неоднородном полях

Чем тогда вызвана неупорядоченность движения маятника при установке магнита? Проанализируем, что при этом изменилось.
Установка сильного магнита приводит к увеличению величины силы, действующей на маятник, а значит и натяжения подвеса. Подвес начинает деформироваться сильнее и его нельзя считать нерастяжимым.
Введем в компьютерную модель удлинение подвеса под действием силы натяжения, рассчитываемое по закону Гука.

Рис.10. Компьютерная траектория маятника с растяжимым подвесом в неоднородном поле

На рис. 10 и 11 видно, что траектория и фазовая диаграммы становятся похожими на полученные в реальном эксперименте. Значит, хаос в движении маятника вызван не неоднородностью поля, а наложением на колебания математического маятника упругих колебаний, подобных колебаниям пружинного маятника.

Рис.11. Компьютерные фазовая диаграмма маятника с растяжимым подвесом в неоднородном поле

Так как избежать упругих колебаний из-за растяжения подвеса невозможно, дальнейший анализ влияния неоднородности поля был выполнен только на компьютерной модели для нерастяжимого подвеса.
Воспользуемся данными, полученными из программы. Посмотрим на графики движения и фазовые диаграммы (рис. 12).
Мы видим, что колебания перестают быть гармоническими. Это вызвано тем, что равнодействующая сила, действующая на маятник, уже не пропорциональна отклонению от положения равновесия.

Рис. 12 Результаты моделирования движения маятника с нерастяжимым подвесом

Амплитуда колебаний координаты не изменяется, что и следовало ожидать из закона сохранения энергии, поскольку амплитуда определяется потенциальной энергией маятника.
Значительно изменяются графики зависимостей скорости и ускорения от времени, поскольку равнодействующая сила теперь зависит не только от угла отклонения маятника, но и от расстояния до магнита.

Заключение

Таким образом, результаты работы показывают, что при нерастяжимом подвесе неоднородное поле влияет только на функции координаты, скорости и ускорения от времени, но не влияет на упорядоченность колебательного движения.
Если же подвес обладает упругостью (реальный маятник), то некоторых местах неоднородного поля удлинение становится настолько большим, что упругие колебания становится сравнимыми с колебаниями математического маятника и наложение друг на друга двух видов колебаний приводит к неупорядоченному движению. Понятно, что это будет происходить и в однородном поле, если растяжением подвеса нельзя пренебречь.

Данная работа представлялась на:

лицейской научно-практической конференции учащихся
"В науку первые шаги" 2003 года (3 место в секции "Физика");

финале Всероссийского конкурса-конференции "Юниор-2003" .

Загрузить тезисы работы в формате Word-97 .

[ На главную страницу ]